\section{1.3. Local coordinates in algebraic sense} 
\begin{frame}[allowframebreaks]{1.3. }

\vspace{-0.4cm}

1.3. 

(1) If $X = \mathbb{A}^n$ is the affine $n$-space, then $\mathcal{D}(X)$ is the Weyl algebra $\mathbb{A}_n$ (cf V). 

(2) In particular $\Theta(X)$ is spanned over $\mathcal{O}(X)$ by $n$ commuting, everywhere linearly independent, vector fields. 

(3) {\color{blue}A similar statement is also valid around any point $x$ (in the Zariski topology) of a general $X$. }


(4) To see this, let $f_1, \ldots, f_n$ ($n = \dim X$) be regular functions whose differentials are linearly independent at $x$. 

(5) We may find an affine open neighborhood $U$ of $x$ such that the $df_i$ are linearly independent at every $u \in U$. 

(6) There exist then uniquely determined $\partial_i \in \mathcal{O}(U)$ such that
\begin{equation}
\partial_i f_j = \langle \partial_i, df_j \rangle = [\partial_i, f_j] = \delta_{ij} \quad (1 \leq i,j \leq n).
\label{eq-3-1}  
\end{equation}

(7) The $\partial_i$ commute on the subring of $\mathcal{O}(U)$ generated by the $f_i$'s, hence also on $\mathcal{O}(U)$ since the latter is integral on the former. 

(8) Then $\mathcal{D}(U)$ is free over $\mathcal{O}(U)$ with basis the $\partial_1^{a_1} \cdots \partial_n^{a_n}$ ($a_i \in \mathbb{N}$). 

(9) The map
\begin{equation}
u \mapsto (f_1(u), \ldots, f_n(u))
\label{eq-3-2}  
\end{equation}
is an {\color{red}étale morphism} of $U$ onto an open subset of $\mathbb{A}^n$ and $\partial_i$ are the unique lifts of the standard $\partial_i$ in $\mathbb{A}_n$. 

(10) We will refer loosely to such a system $(f_i, \partial_j)$ as ``local coordinates'' around $x$. 

(11) The $f_i - f_i(u)$ are indeed local coordinates, and the $\partial_i$ the corresponding derivatives, in a neighborhood of any $u \in U$ in the analytic topology. 

(12) However, in a Zariski neighborhood the $f_i$'s do not necessarily separate the points.

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{\color{red}Notebook.}

1. 请用中文解释这一节内容。% （然后通义千问就一句句地解释了这一节的内容。）

%2. In (\ref{eq-3-1}), the first term $\partial_if_j$ means $\partial_i(f_j)$, right?

2. Explain that (\ref{eq-3-2}) is an \'{e}tale morphism. 

%4. Study an example. Let $V\subset \mathbb{A}^3_\mathbb{C}$ be the algebraic variety defined by $x^3+y^3+z^3-1$. Let $f(x,y,z)=x+y^2$, $g(x,y,z)=x^2+y$. Find a local coordinate system around the origin in the algebraic sense.  Please change the settings if it makes the example better. 

3. Study an example. Let $V\subset \mathbb{A}^3_\mathbb{C}$ be the algebraic variety defined by $x^3+y^3+z^3-1$. Find a local coordinate system around $p=(1,0,0)$ in the algebraic sense. 
Hint. Consider $h_1=y$, $h_2=z$, 
$\partial_1=\partial_y-\frac{y^2}{x^2}\partial_x$, 
$\partial_2=\partial_z-\frac{z^2}{x^2}\partial_x$. 
Verify that $\partial_i\in T_pV$, $[\partial_1,\partial_2]=0$ and $[\partial_i,h_j]=\delta_{ij}$. 

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这一节（1.3）主要说明了在代数簇 $X$ 上，微分算子层 $\mathcal{D}_X$ 在局部上类似于仿射空间上的``外尔代数''（Weyl algebra），并引入了``局部坐标''的代数版本概念。下面逐段进行中文解释。

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原文：{\color{red}如果 $X = \mathbb{A}^n$ 是仿射 $n$-空间，那么 $\mathcal{D}(X)$ 就是外尔代数 $\mathbb{A}_n$（参见 V）。特别地，$\Theta(X)$ 作为 $\mathcal{O}(X)$-模，由 $n$ 个在整体上线性无关且处处非零的向量场张成。}

解释：当 $X$ 是 $n$ 维仿射空间 $\mathbb{A}^n$ 时，其上的代数微分算子环 $\mathcal{D}(X)$ 就是我们熟知的 第 $n$ 外尔代数 $\mathbb{A}_n$。

这个代数由变量 $x_1, \dots, x_n$ 和对应的偏导算子 $\partial_1 = \frac{\partial}{\partial x_1}, \dots, \partial_n = \frac{\partial}{\partial x_n}$ 生成，满足交换关系：
$
[\partial_i, x_j] = \delta_{ij}, \quad [x_i, x_j] = 0, \quad [\partial_i, \partial_j] = 0.
$

此时，所有代数向量场（即 $\mathcal{O}_X$-导子）组成的模 $\Theta(X)$ 可以被标准坐标方向 $\partial_1, \dots, \partial_n$ 自由生成，这些向量场在整个空间上线性无关。


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原文：{\color{red}一个类似的结论对任意一般 $X$ 的任一点 $x$（在扎里斯基拓扑下）也成立。}

解释：虽然一般的光滑代数簇 $X$ 不是仿射空间，但在每一点 $x \in X$ 的某个扎里斯基开邻域内，我们仍然可以找到类似仿射空间那样的“好坐标”，使得微分算子的行为与外尔代数类似。这就是所谓的``局部平凡性''。


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原文：{\color{red}为此，令 $f_1, \ldots, f_n$（其中 $n = \dim X$）为一些正则函数，它们的微分 $df_i$ 在点 $x$ 处线性无关。}

解释：我们从选择一组``好的''函数开始。

由于 $X$ 是光滑的，其切空间在每一点都是 $n$ 维的。

因此我们可以找到 $n$ 个正则函数 $f_1, \dots, f_n$，使得它们的微分 $df_1, \dots, df_n$ 在余切空间 $T_x^*X$ 中线性无关。

这相当于说这些函数在 $x$ 附近可以作为“坐标”。


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原文：{\color{red}我们可以找到一个包含 $x$ 的仿射开邻域 $U$，使得对每个 $u \in U$，$df_i$ 都线性无关。}

解释：因为“微分线性无关”是一个开条件（行列式非零），所以如果它在 $x$ 成立，就存在一个开集 $U$ 上处处成立。

于是这组 $f_i$ 在整个 $U$ 上都可以看作一种“局部坐标函数”。


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原文：{\color{red}那么存在唯一确定的 $\partial_i \in \Theta(U)$，使得
$$
\partial_i f_j = \langle \partial_i, df_j \rangle = [\partial_i, f_j] = \delta_{ij} \quad (1 \leq i,j \leq n).
$$
}

解释：这是关键一步：我们可以在 $U$ 上定义 $n$ 个向量场（即导子）$\partial_1, \dots, \partial_n$，它们满足对偶关系：
$\partial_i(f_j) = 1$ 当 $i = j$; $\partial_i(f_j) = 0$ 当 $i \ne j$. 

换句话说，$\partial_i$ 是沿着“坐标方向 $f_i$”的偏导数。

这种 $\partial_i$ 是唯一的，并且属于 $\mathcal{D}(U)$。

注意这里的记号：$[\partial_i, f_j]$ 表示微分算子之间的交换子，即 $\partial_i \circ f_j - f_j \circ \partial_i$，作用在函数上就是 $\partial_i(f_j)$，所以这个等式也是符合 $\mathcal{D}$-模结构的自然关系。


显式构造：如果我们愿意，在某个足够小的 $U$ 上，可以将 $\partial_i$ 显式写成雅可比矩阵的逆。

设 $f = (f_1, \ldots, f_n): U \to \mathbb{A}^n$，雅可比矩阵为：
$\displaystyle J = \left( \frac{\partial f_i}{\partial x_j} \right).$

但由于我们还没有坐标，考虑从 $\mathcal{O}(\mathbb{A}^n) = \mathbb{C}[y_1,\ldots,y_n]$ 到 $\mathcal{O}(U)$ 的代数同态 $y_i \mapsto f_i$.

这个映射诱导了一个平展态射 $f: U \to \mathbb{A}^n$（因为 $df_i$ 线性无关 $\Rightarrow$ 雅可比满秩 $\Rightarrow$ 平展）。

于是，标准坐标 $\partial/\partial y_i$ 在 $\mathbb{A}^n$ 上定义了一个导子。

我们可以将其``拉回''（pull back）到 $U$ 上，得到一个导子 $\partial_i$，满足：
$$
\partial_i(f_j) = \delta_{ij}.
$$

这就是所谓的``提升''或``拉回''。

小结：

1. 选择 $n$ 个函数 $f_1,\ldots,f_n$，使得 $df_i$ 在 $x$ 处线性无关。

2. 找到一个仿射开邻域 $U$，使得 $df_i$ 在整个 $U$ 上线性无关。

3. 利用对偶性：存在唯一的导子 $\partial_1,\ldots,\partial_n \in \mathrm{Der}(\mathcal{O}(U), \mathcal{O}(U))$，满足 $\partial_i(f_j) = \delta_{ij}$.

4. 这些 $\partial_i$ 自动两两交换（在由 $f_i$ 生成的子环上成立，再延拓），并且构成 $\mathcal{D}(U)$ 的自由生成元。



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原文：{\color{red}$\partial_i$ 在由 $f_i$ 生成的子环上相互交换，因此也在 $\mathcal{O}(U)$ 上交换，因为后者是前者的整扩张。}

解释：先观察到：在多项式环 $\mathbb{C}[f_1,\dots,f_n] \subseteq \mathcal{O}(U)$ 上，这些 $\partial_i$ 是两两交换的（就像普通偏导一样）。

而 $\mathcal{O}(U)$ 作为 $\mathbb{C}[f_1,\dots,f_n]$ 的``整扩张''（integral extension），意味着每个函数都满足某个以 $f_i$ 为系数的多项式方程。
利用这一点和交换性的延拓性质，可以推出 $\partial_i$ 在整个 $\mathcal{O}(U)$ 上也两两交换。

这非常重要：只有导子之间可交换，才能保证 $\mathcal{D}(U)$ 具有类似外尔代数的自由结构。


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原文：{\color{red}于是 $\mathcal{D}(U)$ 作为 $\mathcal{O}(U)$-模是自由的，其基为所有形如 $\partial_1^{a_1} \cdots \partial_n^{a_n}$（$a_i \in \mathbb{N}$）的单项式。}

解释：这意味着在开集 $U$ 上，任何微分算子都可以唯一地写成：
$$
P = \sum_{\alpha} a_\alpha(x) \partial_1^{\alpha_1} \cdots \partial_n^{\alpha_n},
$$
其中系数 $a_\alpha(x) \in \mathcal{O}(U)$ 是正则函数。这正是外尔代数的结构。
所以尽管 $X$ 不是仿射空间，在局部（扎里斯基开集意义上），$\mathcal{D}_X$ 的行为就像外尔代数一样。


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原文：{\color{red}映射 $$u \mapsto (f_1(u), \ldots, f_n(u))$$ 是从 $U$ 到 $\mathbb{A}^n$ 中某个开集的``平展态射''（étale morphism），而 $\partial_i$ 是 $\mathbb{A}_n$ 中标准 $\partial_i$ 的唯一提升。}

解释：这个映射把 $U$ ``参数化''成了 $\mathbb{A}^n$ 的一部分。
由于 $df_i$ 线性无关，这个映射在几何上是``平展的''（étale），即在代数几何中相当于``局部同构''或``局部微分同胚''。
它保持了无穷小结构。
而且，$\partial_i$ 正是从 $\mathbb{A}^n$ 上的标准偏导通过这个平展映射``拉回''（lift）得到的向量场。


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原文：{\color{red}我们将松散地称这样的系统 $(f_i, \partial_j)$ 为 $x$ 附近的``局部坐标''。}

解释：虽然这些 $f_i$ 不一定是真正意义上的坐标函数（比如不能分离所有点），但它们在微分算子理论中起到了类似作用。

所以我们把这对 $(f_i, \partial_j)$ 称为``代数意义下的局部坐标系''。


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原文：{\color{red}函数 $f_i - f_i(u)$ 确实是在任意点 $u \in U$ 的解析拓扑下的局部坐标，而 $\partial_i$ 就是相应的导数。
但在扎里斯基拓扑下，$f_i$ 不一定能够区分点。}

解释：在``复解析拓扑''（即通常的拓扑）下，$f_i - f_i(u)$ 可以作为流形上的局部坐标函数，$\partial_i$ 就是对应的方向导数。

但在``扎里斯基拓扑''下，开集太大，即使 $f_i$ 微分线性无关，也可能存在两个不同的点 $p \ne q$ 使得 $f_i(p) = f_i(q)$ 对所有 $i$ 成立，也就是说，$f_i$ 不一定能``分离点''。

因此，在代数几何中，``局部坐标''只是在微分算子层面上有效，而不是像微分流形那样能实现局部参数化。

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总结：这一节的核心思想是：尽管代数簇 $X$ 整体上可能很复杂，但由于它是光滑的，在每个点 $x$ 附近都存在一个扎里斯基开邻域 $U$，使得我们可以找到 $n$ 个函数 $f_i$ 和对应的导子 $\partial_i$，让 $\mathcal{D}_X|_U$ 的结构看起来就像是外尔代数。

这种 $(f_i, \partial_i)$ 被称为``局部坐标''，虽然不如微分流形中的坐标直观，但在研究 $\mathcal{D}_X$-模时非常有用。

这是一种将全局复杂的代数结构``局部线性化''的思想，是 D-模理论的基础之一。



\end{frame}

